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【转载】小学数学式题、文字题的巧解妙算  

2013-11-23 17:48:06|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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式题的巧解妙算

             1.特殊数题

      (1)21-12

  当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

  因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89,都可类推。

  被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。如

  210-120=(2-1)×90=90,

  0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。

(2)31×51

  个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

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  若十位数字的和满10,进1。如

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  证明:(10a+1)(10b+1)

  =100ab+10a+10b+1

  =100ab+10(a+b)+1

  (3)26×86 42×62

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  个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数,前面补0。

证明:(10a+c)(10b+c)

  =100ab+10c(a+b)+cc

  =100(ab+c)+cc (a+b=10)。

(4)17×19

  十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。

  原式=(17+9)×10+7×9=323

证明:(10+a)(10+b)

  =100+10a+10b+ab

  =[(10+a)+b]×10+ab。

(5)63×69

  十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。

  原式=(63+9)×6×10+3×9

  =72×60+27=4347。

证明:(10a+c)(10a+d)

  =100aa+10ac+10ad+cd

  =10a[(10a+c)+d]+cd。

(6)83×87

  十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。如

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证明:(10a+c)(10a+d)

  =100aa+10a(c+d)+cd

  =100a(a+1)+cd(c+d=10)。

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(7)38×22

  十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

  原式=(30+8)×(30-8)

  =302-82=836。

  (8)88×37

  被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。

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(9)36×15

  乘数是15的两位数相乘。

  被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。

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  =54×10=540。

  55×15

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(10)125×101

  三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。125+1=126。

  原式=12625。

  再如348×101,因为348+3=351,

  原式=35148。

(11)84×49

  一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。

  原式=8400÷2-84

  =4200-84=4116。

(12)85×99

  两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

  原式=8500-85=8415

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  不难看出这类题的积:

  最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;

  最低位上的两位数,是100与被乘数的差;

  中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明:设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则

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  如果被乘数的个位数是1,例如

  31×999

  在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。

  71×9999=709999-70=709929。

  这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为

  (10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。

(13)1÷19

  这是一道颇为繁复的计算题。

  原式=0.052631578947368421。

  根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果。

  原式转化为0.1÷1.9,把1.9看作2,计算程序:

  (1)先用0.1÷2=0.05。

  (2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除

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  如此除到循环为止。

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  仔细分析这个算式:

  加号前面的0.05是0.1÷2的商,后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005,就是把商向右移动一位写到被除数里,除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除,依此类推。

  除数末位是9,都可用此法计算。

  例如1÷29,用0.1÷3计算。

  1÷399,用0.1÷40计算。

2.估算

  数学素养与能力(含估算能力)的强弱,直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视,是个亟待研究的课题。

  美国数学督导委员会,提出的12种面向全体学生的基本数学能力中,第6种能力即估算:“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时,估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”

(1)最高位估算

  只计算式中几个运算数字的最高位的结果,估算整个算式的值大概在什么范围。

  例1 1137+5044-3169

  最高位之和1+5-3=3,结果在3000左右。

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  如果因为忽视小数点而算成560,依据“一个不等于零的数乘以真分数,积必小于被乘数”估算,错误立即暴露。

  例3 51.9×1.51

  整体思考。

  因为 51.9≈50,

  而50×1.51≈50×1.5=75,

  又51.9>50,1.51>1.5,

  所以51.9×1.51>75。

  另外9×1=9,

  所以原式结果大致是75多一点,三位小数的末位数字是9。

  例4 3279÷79

  把3279和79,看作3200和80。准确商接近40,若相差较大,则是错的。

(2)最低位估算

  例如,6403+232+1578

  3+2+8=13,原式和的末位必是3。

(3)规律估算

  和大于每一个加数;

  两个真分数(或纯小数)的和小于2;

  一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数),且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和;

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  两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和,且小于这两个整数部分的和加上2;

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  奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数;

  差总是小于被减数;

  整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差;带分数(或带小数),与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。

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  带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数),且大于带分数(或带小数)减去1的差;

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  带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差,且大于这个差减去1;

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  如果两个因数都小于1,则积小于任意一个因数;

  若两个因数都大于1,则积大于任意一个因数;

  带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积,且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积; 例如,

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  A<AB<B。

  奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;

  若除数<1,则商>被除数;

  若除数>1,则商<被除数;

  若被除数>除数,则商>1;

  若被除数<除数,则商<1。

(4)位数估算

  整数减去小数,差的小数位数等于减数的小数位数;例如,320-0.68,差为两位小数。

  最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数,等于这两个数的位数和;

  例如,451×7103

  最高位的积4×7=28,满10,结果是3+4=7(位数)。在整除的情况下,被除数的前几位不够除,商的位数等于被除数的位数减去除数的位数;

  例如,147342÷27

  14不够27除,商是4-2=2(位数)。

  被除数的前几位够除,商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。

  例如,30226÷238

  302够238除,商是5-3+1=3(位数)。

(5)取整估算

  把接近整数或整十、整百、……的数,看作整数,或整十、整百…的数估算。

  如1.98+0.97≈2+1,和定小于3。

  12×8.5≈10×10,积接近100。

3.并项式

  应用交换律、结合律,把能凑整的数先并起来或去括号。

  例1 3.34+12.96+6.66

    =12.96+(3.34+6.66)

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  =12.96+10=22.96

  =3-3=0

  例3 15.74-(8.52+3.74)

  =15.74-3.74-8.52

  =12-8.52=3.48

  例4 1600÷(400÷7)

  =1600÷400×7

  =4×7

  =28

4.提取式

  根据乘法分配律,可逆联想。

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  =(3.25+6.75)×0.4=10×0.4

  =4

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5.合乘式

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     =87.5×10×1=875

     =8-7=1

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6.扩 缩 式

  例1 1.6×16+0.4×36

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    =0.4×(64+36)

    =0.4×100=40

  例2 16×45

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7.分 解 式

  例如,14×72+42×76

  =14×3×24+42×76

  =42×(24+76)

  =42×100=4200

8.约 分 式

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    =3×7×2=42

  例2 169÷4÷7×28÷13

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   =1988

  例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数,分别除小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

 

9.拆 分 式

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10.拆 积 式

  例如,32×1.25×25

  = 8×1.25×(4×25)

  =10×100=1000

11.换 和 式

  例1 0.1257×8

    =(0.125+0.0007)×8

    =1+0.0056=1.0056

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  例4 8.37-5.68

    =(8.37+0.32)-(5.68+0.32)

    =8.69-6=2.69

 

12.换 差 式

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13.换 乘 式

  例1 123+234+345+456+567+678

    =(123+678)×3

    =801×3=2403

  例2(6.72+6.72+6.72+6.72)×25

    =6.72×(4×25)=672

  例3 45000÷8÷125

    =45000÷(8×125)

    =45000÷1000=45

  例4 9.728÷3.2÷25

    =9.728÷(0.8×4×25)

    =9.728÷80

    =0.9728÷8=0.1216

  例5 33333×33333

    =11111×99999

    =11111×(100000-1)

    =1111100000-11111

    =1111088889

  综合应用,例如

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  =1000+7=1007

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  =(11.75+1.25-4.15-0.85)×125.25(转)

  =[(11.75+1.25)-(4.15+0.85)]×125.25(合)

  =8×125.25

  =8×(125+0.25)(拆)

  =8×125+8×0.25=1002

14.换 除 式

  例如,5600÷(25×7)

  =5600÷7÷25

  =800÷25=32

15.直 接 除

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17.以乘代加

  例1 7+4+5+2+3+6

    =9×3=27

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  如果两个分数的分子相同,且等于分母之和(或差),那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。

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18.以乘代减

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  知,两个分数的分子都是1,分母是连续自然数,其差等于其积。

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  可见,各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1,第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

19.以加代乘

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  一个整数与一个整数部分和分子都是1,分母比整数(另个乘数)小1小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

20.以除代乘

  例如,25×123678448

  =123678448×(100÷4)

  =12367844800÷4

  =3091961200

21.以减代除

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  =1986-662=1324

  3510÷15

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  =(3510-1170)÷10=234

22.以乘代除

  例如,2.7÷4÷6×24÷27

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23.以除代除

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  观察其特点,

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24.并数凑整

  例如,372+499

  =372+500-1=871

  56.7-12.8

  =56.7-13+0.2=43.9

25.拆数凑整

  例如,476+302

  =476+300+2=778

  9.42-3.1

  =9.42-3-0.1=6.32

26.加分数凑整

  应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数,其差不变”的性质,使原来减去一个带分数或带小数,变成减去整数。

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  例3 8.37-5.68

   =(8.37+0.32)-(5.68+0.32)

   =8.69-6=2.69

33.变数为式 

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  ……

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34.分解再组合

  例如,(1+2+3+…+99)+(4+8+12+…+396)

  =(1+2+3+…+99)+4(1+2+3+…+99)

  =5(1+2+3+…+99)

35.先分解再通分

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  有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。

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  判断两个数是否互质,不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数,看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。

  57=3×19,如果57和76有公有的质因数,只可能是3或19。用3、19试除,

  [57,76]=19×3×4=228。

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  26=2×13,65和91是13的倍数。

  最小公分母为

  13×2×5×7=910。

36.巧用分解质因数

  教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。其实,分解质因数在解题中很有用处。提供新解法,启迪创造思维。

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例2 184×75

  原式=2×2×46×3×5×5

  =46×3×(2×5)2

  =138×100=13800。

37.变 式 法

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37.巧用分解质因数

  教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。其实,分解质因数在解题中很有用处。提供新解法,启迪创造思维。

例1 184×75

  原式=2×2×46×3×5×5

  =46×3×(2×5)2

  =138×100=13800。

38.“1、1”法

  一个整数减去一个带分数,可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数,再从1中减去分数部分。

  为便于记忆,称“1、1”法。

39.“1,9,9…10”法

  一个整数减去一个小数(末位不为0),可先减去比小数高位多1的数,再从9中减去其它位数,最后从10中减去末位数。

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40.改变运算顺序

  例1 650×74÷65

    =(650÷65)×74

    =10×74=740

  例2 176×98÷49

    =176×(98÷49)

    =176×2=352

  例3 7÷13×52÷4

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  例4 102×99-0.125×99×8

    =102×99-1×99

    =99×(l00+1)

    =9900+99=9999

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41.用 数 据

  熟记一些特殊数据,可使计算简捷、迅速。

  例1 由37×3=111

  知 37×6=111×2=222

  37×15=37×3×5=555

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  例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512;

  5、25、125、625。

  这些数作分母的分数才能化成有限小数,不需试除。

  例4 特殊分数化小数

  分母是5、20、25、50的最简分数,在化为小数时,把分子相应地扩大2、5、4、2倍,再缩小10、100倍。

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  分母是8的最简分数,分子是1、3,小数的第一位也是1、3。

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  分母是9的最简分数,循环节的数字和分子的数字相同。

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  例5 1~9π

  1×3.14=3.14 6×3.14=18.84

  2×3.14=6.28 7×3.14=21.98

  3×3.14=9.42 8×3.14=25.12

  4×3.14=12.56 9×3.14=28.26

  5×3.14=15.7

  熟记这些数值,可口算。

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  3.14×13=10π+3π=40.82

  3.14×89=90π-π

  =282.6-3.14=279.46

  π×1.58

  变为整数,三位数前面补0改为四位数,

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  这样不会把数位搞错,将结果左端的0去掉,点上小数点得4.9612。也可从高位算起。

 

42.想特殊性

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  仔细审题,知第二个括号里的结果为0,此题得0。

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  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网所以可直接得0。

  例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8-2.8)

  除数为1,则商就是被除数。

43.想 变 式

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44.用 规 律

  例1 682+702

  两个连续奇(偶)数的平方和,等于这两个数之积的2倍加4的和。

  原式=68×70×2+4

  =9520+4=9524。

  例2 522-512=52+51=103

  两个连续自然数的平方差,等于这两个数的和。

  例3 18×19+20

  任意三个连续自然数,最小数与中间数的乘积加上最大数的和,等于最大数与中间数的乘积减去最小数。

  原式=20×19-18=362。

  例4 16×17-15×18

  四个连续自然数,中间两个的积比首尾两个的积多2。

  原式=2。

  证明:设任意四个连续自然数分别为a-1、a、a+1、a+2,

  则a(a+1)-(a-1)(a+2)

  =a2+a-a2-a+2=2。

  例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数),乘以一个与其循环节位数相同的数,其规律适用于一些题的简算。

  ABAB×CD=(AB×100+AB)×CD

  =AB×100×CD+AB×CD

  =(CD×100+CD)×AB

  =CDCD×AB

  如:125×5×1616×78

  =125×5×7878×16

  =(125×8)×(5×2)×7878

  =78780000

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45.基础题法

  在基础题上深化。例如,

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  观察(1)的解题过程,

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  逆用各步的结构特点,

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46.巧 归 纳

  例如,1+2+…+100+99+…+1

  1~100的和为5050,再加一倍为10100,减去多加的100为10000。但速度太慢。

  有相同的行数和列数,用点或圈列成正方形的数,叫作正方形数。

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  由图知

  1+2+3+2+1=32,

  1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。

  不难发现,和为最大加数的平方。显然,

  5+6+…+29+30+29+…+6+5

  =302-42-4

  =900-16-4=880。

巧思妙算文字题

1.想 数 码

  例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。

  思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。

  相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是

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  思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。

  不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”

2.尾数法

  例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。

  由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。

  知 1222×1222>1221×1223

  例2 二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。

  由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。

  由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。

  甲数是348,乙数是34。

  例3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。

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  由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;

  由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为

  142857×3=428571。

3.从较大数想起

  例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法?

  思路一:较大数不可能取5或比5小的数。

  取6有6+5;

  取7有7+4,7+5,7+6;

  …………………………………………

  取10有九种 10+1,10+2,……10+9。

  共为 1+3+5+7+9=25(种)。

  思路二:两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9,2+10;……较小数为9的有9+10。

  共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)

  这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、……开始。

  思路三:两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。

  和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;和是11~19的取法

  5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。

4.想大小数之积

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  用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知

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  交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。

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5.由得数想

  例如,思考题:在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是

  0,0.5,1,1.5,2。

  从得数出发,想:

  两个相同数的差,等于0;

  一个数加上或减去0,仍等于这个数;

  一个因数是0,积就等于0;

  0除以一个数(不是0),商等于0;

  两个相同数的商为1;

  1除以0.5,商等于2;……

  解法很多,只举几种:

  (0.5-0.5)×0.5×0.5×0.5=0

  0.5-0.5-(0.5-0.5)×0.5=0

  (0.5+0.5+0.5)×(0.5-0.5)=0\

  (0.5+0.5-0.5-0.5)×0.5=0

  (0.5-0.5)×0.5×0.5+0.5=0.5

  0.5+0.5+0.5-0.5-0.5=0.5

  (0.5+0.5)×(0.5+0.5—0.5)=0.5

  (0.5+0.5)×0.5+0.5-0.5=0.5

  (0.5-0.5)×0.5+0.5+0.5=1

  0.5÷0.5+(0.5-0.5)×0.5=1

  (0.5-0.5)÷0.5+0.5+0.5=1

  (0.5+0.5)÷0.5-(0.5+0.5)=1

  0.5-0.5+0.5+0.5÷0.5=1.5

  (0.5+0.5)×0.5+0.5+0.5=1.5

  0.5+0.5+0.5+0.5-0.5=1.5

  0.5÷0.5+0.5÷0.5-0.5=1.5

  0.5÷0.5÷0.5+0.5-0.5=2

  (0.5+0.5)÷0.5+0.5-0.5=2

  (0.5+0.5+0.5-0.5)÷0.5=2

  [(0.5+0.5)×0.5+0.5]÷0.5=2

6.想平均数

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  思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占

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  知这三个数是14、15、16。

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  二、一个数分别为

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  16-1=15,

  15-1=14 或 16-2=14。

  若先求第一个数,则

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  思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,

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  知是15、16。

  思路四:第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷(8-7)×7=14。

  若先求第三个数,则

  2÷(8-7)×8=16。 小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网
7.想奇偶数
例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。

例如

1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100

  你还能想出不同的添法吗?

  1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即

  1+2+3+4+5+6+78+9

  =45+63=108。

 为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。

 “减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负“-1”,不能介绍。如果式左变为

 12+3+4+5+6+7+89。

 [12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。

 要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有

 12+3+4+5-6-7+89=100,

 12-3-4+5-6+7+89=100,

  同理得

  12+3-4+5+67+8+9=100,

  1+23-4+56+7+8+9=100,

  1+2+34-5+67-8+9=100,

  123-4-5-6-7+8-9=100,

  123+4-5+67-89=100,

  123-45-67+89=100。

  为了减少计算。应注意:

  (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?

  1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。

  (2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。

  例2 求59~199的奇数和。

  由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

  1+3+5+7+……+(2n-1)=n2

  奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。

  例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。

  知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。

  所求为 10000-841=9159。

  或者 59=30×2-1,302=900,

  10000-900+59=9159。

例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如

1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
          1+2+3+4+5+6+78+9

  =45+63=108。
为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。

“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负数“-1”,不能介绍。如果式左变为

12+3+4+5+6+7+89。

[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。

要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有

12+3+4+5-6-7+89=100,

12-3-4+5-6+7+89=100,

同理得

12+3-4+5+67+8+9=100,

1+23-4+56+7+8+9=100,

1+2+34-5+67-8+9=100,

  123-4-5-6-7+8-9=100,

  123+4-5+67-89=100,

  123-45-67+89=100。

  为了减少计算。应注意:

  (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?

  1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。

  (2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。

例2 求59~199的奇数和。

  由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2

奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。

例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。

知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。

所求为 10000-841=9159。

或者 59=30×2-1,302=900,

10000-900+59=9159。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。

证明:设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。

那么 M×N=P×a×P×b。

而 Q=P×a×b,

所以 M×N=P×Q。

例1 甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。甲数是21,乙数是多少?

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例2 已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。

这两个互质数的积为1×155=155,还可分解为5×31。

所求是1和155,5和31。

例3 两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的2.5倍,求各数。

由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的2.5倍。

小数的平方为4×40÷2.5=64。

小数是8。

大数是8×2.5=20。

算理:4×40=8×20=8×(8×2.5)=82×2.5。
9.想 份 数小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

 

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10.巧用分解质因数

  例1 四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。

  144=24×32

  =(22×3)×[(2×3)×2]

  =(4×3)×(6×2)

  可组成4∶6=2∶3等八个比例式。

  例2 三个连续自然数的积是4896,求这三个数。

  4896=25×32×17

  =24×17×(2×32)

  =16×17×18

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  1728=26×33=(22×3)3=123

  385=5×7×11

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  例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少?

  1992=2×2×2×3×83

  2+3+83=88

  例5 甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。

  1620=22×34×5

  =(32×22)×(32×5)

  甲数是45,乙数是36。

  例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。

  八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。

  每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为

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例7 600有多少个约数?

  600=6×100=2×3×2×2×5×5

  =23×3×52

  只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为:

  2、22、23;

  3;

  5、52;

  2×3、22×3、23×3;

  2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52;

  3×5、3×52;

  2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。

  不含2×3×5的因数的数只有1。

  这八种情况约数的个数为;

  3+1+2+3+6+2+6+1=24。

  不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。

17.想 法 则

  用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网子比分母少16。求这个分数?

  由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”,结果是分子的5倍比小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网3倍比分母少16。知

  分子的5-3=2(倍)是2+16=18,分子为18÷2=9,分母为9×5-2=43或9×3+16=43。

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18.想 公 式

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  证明方法:

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  以分母a,要加(或减)的数为

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  (2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。

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19.想 性 质

  例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:有甲、乙两个小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网多少倍?

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  200÷16=12.5(倍)。

  例2 思考题:三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。写出这三个分数。

  由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;12、15、30;12、15、60。

  由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。

  满足题意的三个分数是

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  (二)第400个分数是几分之几?

  此题特点:

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  (2)每组分子的排列:

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  假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为n+n-1=2n-1,即任何一组分数的个数总是奇数。

  (3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系

  分母:1、2、3、4、5、……

  分数个数:1、3、5、7、9、……

  (4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。

  例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网10×2-1-6=13(个)位置上。

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  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网分别排在81+7=88(个),81+13=94(个)的位置上。

  或者102=100, 100-12=88。

  100-6=94, 88+6=94。

  问题(二):由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分数所在的组数400=202,分母也是它。

  第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后一个,即小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

  若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。

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  逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个?

  352-(35×2-1)+1

  =1225-69+1=1157。

  排在1157-1225个的位置上。

20.由规则想

  例如,1989年从小爱数学邀请赛试题:接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。

  例如,8×9=72,在9后面写2,9×2=18,在2后面写8,……得到一串数:1989286……

  这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么?

  先按规则多计算几个数字,得1989286884286884……显然,1989后面的数总是不断重复出现286884,每6个一组。

  (1989-4)÷6=330……5

  最后一组数接着的五个数字是28688,即第1989个数字是8。

21.用 规 律

  例1 第六册P62第14题:选择“+、-、×、÷”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

  (1)2 2 2 2 2=0

  (2)2 2 2 2 2=1

  ……

  (10)2 2 2 2 2=9

  解这类题的规律是:

  先想用两、三个2列出,结果为0、1、2的基本算式:

  2-2=0,2÷2=1;

  再联想2-2÷2=1,2×2÷2=2,2÷2+2=3,……

  每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:

  2÷2+2÷2-2=0

  2÷2×2-2÷2=1

  2-2+2÷2×2=2

  2×2+2÷2-2=3

  2×2×2-2-2=4

  2-2÷2+2×2=5

  2+2-2+2×2=6

  2×2×2-2÷2=7

  2÷2×2×2×2=8

  2÷2+2×2×2=9

  例2 第六册P63题4:写出奇妙的得数

  2+1×9=

  3+12×9=

  4+123×9=

  5+1234×9=

  6+12345×9=

  得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点:

  第一个加数由2开始,每式依次增加1。第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去

  7+123456×9=1111111

  8+1234567×9=11111111

  9+12345678×9=111111111

  10+123456789×9=1111111111

  11+1234567900×9=11111111111

  12+12345679011×9=111111111111

  ……

  很自然地想到,可推广为

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  (1)当n=1、2时,等式显然成立。

  (2)设n=k时,上式正确。当n=k+1时

  k+1+123…k×9

  =k+1+[123…(k-1)×10+k]×9

  =k+1+123…(k-1)×9×10+9k

  =[k+123…(k-1)×9]×10+1

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  根据数学归纳法原理,由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n,此等式都成立。

  例3 牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。

  (1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母-1)÷2。

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   =(21-1)÷2=10。

22.巧想条件

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网比5小,分母是13的最简分数有多少个。

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网7~64为64-(7-1)=58(个),去掉13的倍数13、26、39、52,余下的作分子得54个最简分数。

  例2 一个整数与1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中,有几个是可用的。

  看结果,想条件,知都是可用的。

  4×(1+2+3)=24

  (5+1+2)×3=24

  6×(3+2-1)=24

  7×3+1+2=24

  8×3÷(2-1)=24

  9×3-1-2=24

  10×2+1+3=24

23.想和不变

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  无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7+11=18是不变的。

  而新分数的分子与分母的和为1+2=3,要保持原和不变,必同时扩大18÷3=6(倍)。

 

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  某数为7-6=1或12-11=1。

24.想和与差

 

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  算理,原式相当于

  

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  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网求这个分数。

 

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25.想差不变

 

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  分子与分母的差41-35=6是不变的。新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大6÷1=6(倍)。

 

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  某数为42-35=7,或48-41=7。

  与上例同理。23-11=12,3-1=2,12÷2=6,

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  某数为11-6=5或23-18=5。

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  分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后,分子比分母应小3+2=5。

 

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26.想差的1/2

  对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。

  例1 求分母是12的所有最简真分数的和。

  由12中2的倍数有6个,3的倍数有4个,(2×3)的倍数2个,知所求数是

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  例2 分母是105的,最简真分数的和是多少?

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网倍数15个,(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个,(3×5×7)的倍数1个。知

  105-[(35+21+15)-(3+5+7)+1]=48,

  48÷2=24。

27.借助加减恒等式

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网个数。

 

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  若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,得

 

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  这九个分数是

  

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28.计算比较

  例如,九册思考题:1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想,得数有什么规律?

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  ……

  可见,除数是11,被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11),商小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

  17÷11=(11+6)÷11=11÷11+6÷11

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  凡商是纯循环小数的除式,都有此规律;不是纯循环小数的,得数不存在这一规律。

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  不难发现,它们循环节的位数比除数少1,循环数字和顺序相同,只是起点不同。

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  只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序,计算时以最大商的数字为起点,顺序写出全部循环节数字,即可。

29.由验算想

  例如,思考题:计算1212÷101,……,3939÷303,你能从计算中得到启发,很快说出下面各题的得数?

  4848÷202,7575÷505,……

  3939÷303

  =(3030+909)÷303

  =3030÷303+909÷303

  =10+3=13

  备课用书这种由“除法的分配律”解,要使三年级学生接受,比较困难。

  若从“除法的验算”推导

  由3939÷303=( ),

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  商百位上的3和13相乘才可得39,商个位上的3也必须与13相乘得39,除数是13确定无疑。显然,在被除数上面写上除数,使位数对齐,口算很快会得出结果。

  小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网所以商是12。

30.想 倍 比

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31.扩 缩 法

  例如,两数和是42,如果其中一个数扩大5倍,另一个数扩大4倍,则和是181。求这两个数。

  若把和,即这两个数都扩大4倍,则得数比181小,因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。

  181-42×4=13

  42-13=29

  若把两数都扩大5倍,结果比181多了原来扩大4倍的那个数。

  42×5-181=29,42—29=13。

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  若把181缩小4倍,则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍,又小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

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  若把181缩小5倍,得数比42小。因为先扩大4倍的那个数,又缩小5小学数学解题思路大全 - 数学老师 - 小学数学复习考试网

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  最佳想法:

  两数扩大的倍数不同,181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。

  181÷42=4余13。

  另个数可这样求

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32.分别假设

  例如,1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5:把一个正方形的一边减少20%,另一边增加2米,得到一个长方形,它与原来的正方形面积相等。那么,正方形的面积是多少平方米。

  设正方形的边长为1,另一边增加的百分数为x,则

  (1-1×20%)×(1+x)=1,

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  正方形边长 2÷25%=8(米),

  面积 8×8=64(平方米)。

33.变数为式 

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  ……

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34.分解再组合

  例如,(1+2+3+…+99)+(4+8+12+…+396)

  =(1+2+3+…+99)+4(1+2+3+…+99)

  =5(1+2+3+…+99)

35.先分解再通分

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  有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。

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  判断两个数是否互质,不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数,看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。

  57=3×19,如果57和76有公有的质因数,只可能是3或19。用3、19试除,

  [57,76]=19×3×4=228。

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  26=2×13,65和91是13的倍数。

  最小公分母为

  13×2×5×7=910。

36.巧用分解质因数

  教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。其实,分解质因数在解题中很有用处。提供新解法,启迪创造思维。

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例2 184×75

  原式=2×2×46×3×5×5

  =46×3×(2×5)2

  =138×100=13800。

37.变 式 法

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